Die leere Batterie hat mit den von dir geschilderten Problemen wahrscheinlich erstmal nix zu tun, da die Ladeanlage und die Schlusslichtdrosselspule elektrisch voneinander getrennt betrachtet werden müssen (außer, dass beide Kreise von der selben stromerzeugende Lichtspule auf der Grundplatte versorgt werden - diese Spule bringt bei dir aber vermutlich genügend Spannung).
Zu dem Batterieproblem: Entweder ständig mit "Licht an" gefahren (dann reicht die Kraft der Spule nicht, um die Batterie ordentlich zu laden) oder die Sicherung für die Ladeanlage ist defekt.
Aber lass uns trotzdem erstmal bei dem Brems-/Rücklichtproblem bleiben ![]()