Ich hatte genau das selbe Problem! Keine Papiere, aber Fahrzeug angemeldet.
Ich habe dann Folgendes gemacht:
Ich habe den Vorbesitzer gebeten, mir die Fahrzeugdaten, die für die Betriebserlaubnis vom Kba erforderlich sind, durchzugeben.
Mit diesen Daten habe ich dann die Betriebserlaubnis beantragt und an meine Adresse schicken lassen.
Ausserdem habe ich noch bei der örtlichen Polizei die Rahmennummer angegeben und nachgefragt, ob das Fahrzeug als gestohlen gemeldet ist.
Im Idealfal wartest Du ab, bis Du die Betriebserlaubnis hast und machst dann erst den Kauf mit Kaufvertrag perfekt.
Wenn die Schwalbe momentan angemeldet (= versichert) ist, solltest Du Dir von der Vorbesitzerin den Versicherungsschein geben lassen und bei der Versicherung mitteilen, dass Du der neue Besitzer bist. Der Versicherungsschein wird dann kostenfrei auf Dich umgeschrieben.
Viele Grüße
Jens